ACG -
Aspects
Conformes de la Géométrie - Projet ANR-10-BLAN 0105 -
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Journée du 6 décembre 2013
à
Jussieu -
Clara Aldana :
Determinants
of Laplace operators on planar polygons and angular sectors
Résumé
: I
will talk about work in progress with J. Rowlett and W.
Mueller.
We study the extremal problem for the determinant of the
Dirichlet Laplacian on a convex planar polygon.
I will show how we obtain a variational formula for the
determinant on finite sectors and will explain the problems
that occur when one considers polygons instead.
Jean-Louis
Milhorat : Bas du spectre de l'opérateur de
Dirac sur les espaces symétriques compacts
Résumé
: On établit une formule
explicite donnant la première valeur propre de
l'opérateur
de Dirac sur un espace symétrique compact et
irréductible. Cette formule permet de mieux
comprendre
l'influence de l'holonomie sur le bas du spectre.
Samuel Tapie : Flot de Yamabe et entropie
minimale sur les variétés de volume infini
Résumé
: Soit (M,g) une
variété à courbure sectionnelle
majorée par -1. Les travaux d'Hamenstädt,
Besson-Courtois-Gallot et Connell-Farb ont
montré que si M admet une métrique de
volume fini localement symétrique, alors
celle-ci est l'unique minimum pour l'entropie
topologique. Autrement dit, l'entropie fournit un
moyen de détecter les métriques
localement symétriques à courbure
négative.
Les méthodes développées par ces
auteurs ne s'adaptent pour le moment ni au cas de
volume infini, ni au cas où M n'admet pas de
métrique localement symétrique.
Nous montrerons à l'aide d'une variante du flot
de Yamabe que, au sein de chaque classe conforme, si
l'on fixe des bornes sur la courbure scalaire, tout
extremum de l'entropie à courbure
négative compact ou convexe-cocompact a une
courbure scalaire constante. Le cas de volume infini
est particulièrement surprenant, puisque
l'entropie n'y est a priori déterminée
que par la géométrie à
l'intérieur d'un compact. Il s'agit
également d'une piste pour produire des
métriques d'Einstein sur des
variétés n'admettant pas de
métrique localement symétriques, comme
celles de Gromov-Thurston.
